Fracciones parciales.

A continuación, se mostrarán las formas de cocientes de polinomios y algunas características, teniendo como variable la letra “s” para poder acostumbrarse a los temas de sistemas de control, aunque se puede cambiar la variable “s” por la letra que sea mas entendible.

Conceptos preliminares

Una forma para sumar fracciones con denominadores distintos es:

Paso 1.

Multiplicar el numerador “a” por el denominador “d” y colocar su resultado en un nuevo numerador junto con el signo de operación entre ambas fracciones.

Paso 2.

Multiplicar el denominador “b” por el numerador “c” y colocar su resultado al lado derecho del resultado del paso 1.

Paso 3.

Multiplicar el denominador “b” por el denominador “d” y colocar el resultado como el nuevo denominador de la nueva fracción creada en el paso 1.

Paso 4.

Sumas los productos que se encuentran en la parte del numerador.

Paso 5.

Obtener el mínimo común múltiplo tanto para el numerador como para el denominador.

Ejemplo 1

Paso 1.

Paso 2.

Paso 3.

Paso 4.

Paso 5.

Como 13 es un numero primo es evidente que no se puede realizar una simplificación. Por lo tanto, es lo mismo operar con (13/6) que con (1/2 + 5/3).

Por lo tanto, una fracción se puede descomponer en suma de otras fracciones.

Fracción propia.

Una fracción es propia cuando el grado del numerador es menor al grado del denominador.

Fracción impropia.

Una fracción es impropia cuando el grado del numerador es menor al grado del denominador.

Caso 1. El denominador A(s) se puede descomponer en factores lineales distintos. (Polos distintos)

Si este es el caso del cociente que se tenga, se puede descomponer de la siguiente manera:

Para determinar el valor de las constantes A1, A2, …, An se puede realizar lo siguiente:

Ejemplo 2.

Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción;

Paso 1. Volver a colocar el numerador tal y como esta y en el denominador colocamos un par de paréntesis.

Paso 2. Se obtiene la raíz cuadrada de la variable elevada al cuadrado. El resultado se coloca en cada paréntesis.

Paso 3. Se determina el signo de los factores. Si en el polinomio los signos de la variable lineal y la constante son positivos los factores tendrán signos positivos. Y se agregan las raíces s1 y s2.

Paso 4. Vamos a encontrar s1 y s2 de la siguiente manera:

Dos números que sumados den 3 y multiplicados den 2.

Por lo tanto  

Reescribimos la fracción con las raíces que se acaban de encontrar.

Ya tenemos al denominador descompuesto en factores lineales diferentes. Ahora procedemos a descomponer toda la fracción en suma de otras fracciones.

 

El siguiente paso es encontrar A1 y A2.

Por lo tanto, A1 = 2 y A2 =-1.

Reescribimos la fracción.

Comprobación:

Otra manera de determinar las constantes A1 y A2 es:

En la última ecuación vamos a comparar los valores correspondientes de las variables y las constantes.

Por lo tanto, podemos escribir el sistema de ecuaciones determinado de la siguiente manera:

Para encontrar A1 y A2 se puede emplear el método que resulte más fácil, para este caso usaremos el método por determinantes.

El primer paso es obtener el determinante del sistema de ecuaciones.

Posteriormente hay que obtener el determinante de A1.

Despues se debe calcular el determinante de A2.

Una vez que se tienen los valores de Delta, delta A1 y delta A2, se procede a calcular los valores de A1 y A2.

Se puede emplear el método que resulte más fácil de usar para determinar las constantes.

Caso 2. El denominador A(s) se puede descomponer en factores lineales y unos se repiten (Polos múltiples)

Si el denominador se puede descomponer los factores de la forma:

Ejemplo 3.

Descomponer en fracciones parciales el siguiente polinomio:

Se debe agregar una fracción por cada nivel del denominador de forma individual hasta llegar a la enésima potencia.

Para determinar las constantes A1, A2 y A3 se proponen 2 manera diferentes.

Primer método para determinar constantes de fracciones parciales polos múltiples:

Para calcular A3 se realiza lo siguiente:

Para calcular A2 se realiza lo siguiente:

Para calcular A1 se calcula lo siguiente:

Se reescribe la fracción:

Segundo método para determinar constantes de fracciones parciales polos múltiples:

En este punto se debe desarrollar la resolución de los potenciales y paréntesis.

Ahora se comparan los valores correspondientes entre ambos lados de la igualdad.

Al sustituir A1 en la segunda ecuación se tiene:

Al sustituir A1 y A2 en la ecuación 3 se tiene:

Al reescribir la fracción se tiene:

Caso 3. Factores cuadráticos irreductibles ninguno se repite.

Si el denominador A(s) tiene factores cuadráticos que no se pueden reducir de la forma:

La fracción equivalente tendrá la forma:

Ejemplo:

Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción:

Primero se debe desarrollar en lo posible al denominador:

Una vez que el denominador no puede reducirse más, se procede a descomponerlo en fracciones parciales:

En este punto se procede a desarrollar las variables para poder obtener un sistema de ecuaciones y así determinar los valores de las contantes para completar el desarrollo en fracciones parciales de la fracción inicial.

El resultado nos da un sistema de ecuaciones de 3 variables.

Existen diversos métodos para determinar estos valores.

Se determinaron los valores para A, B y C por el método de determinantes y los valores son:

Al sustituir estos valores queda lo siguiente:

Forma 4. El denominador contiene un factor irreductible repetido.

El denominador A(s) se puede descomponer en factores cuadráticos repetidos.

 

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Se procede a encontrar el valor de cada constante:

Y estos son los resultados:

Se reescribe la fracción: